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Course Name: Introduction to finite field and their application
课程名称: 有限域理论与应用

Lecturer Professor: Zeng Jiwen
主讲: 曾吉文教授

Text book: Introduction to finite fields and their application
Author: Rudolf Lidl, Harald Niederreiter
Publishing Company: Cambridge University
Published date: 1994

Contents:
1. Algebraic foundations: Groups, Rings and Fields, Polynomials, Field Extensions
2. Structure of Finite fields: Characterization of finite Fields, Roots of Irreducible polynomials, traces, Norms, Bases, Roots of Unity and Cyclotomic polynomials, Representation of elements of finite fields, Wedderburn’s Theorem
3. Polynomials and Primitive Polynomials, Irreducible polynomials, Constructiom of irreducible polynomials, Linearized polynomials, Binomials and Trinomials
4. Factorizationof Polynomials: Factorization over small finite fields, Factorizations over large finite fields, Calculation of Roots of polynomials,
5. Exponential Sums: Characters, Gaussian Sums
6. Linear Recurring Sequences: Feedback Shift Registers, Periodicity properties, Impulse response sequences, Generating functions, The minimal polynomials, Families of Linear recurring sequences,
7. Theoretical Applications of Finite fields: Finite geometries, Combinatorics, Linear modular systems, Pseudorandom sequences
8. Algebraic Coding theory: Linear codes, Cyclic codes, Goppa codes
9. Cryptology: Stream Ciphers, Discrete logarithms,
有限域理论是现代代数学的重要分支之一。近五十年来,由于它在组合,编码,密码,通信等学科的广泛应用,而逐步形成富有特色的代数学核心课程。有限域的理论最早可追溯到费尔马(FERMAT 1601-1665)和欧拉(EULER 1707-1783),他们为一些特别的有限域结构,如素数域,作出了重要的贡献。有限域的一般理论主要从高斯(GAUSS 1777-1855)和伽罗华(GALOIS 1811-1832)的工作开始,但最近几十年,随着离散数学的发展,许多从事应用研究的数学家,开始重视有限域理论的研究和应用。例如,有限域的计算和算法分析对计算机代数和符号计算有重要的影响。
有限域的理论部分主要介绍:有限域的一般结构,如有限域的一般性质,构造有限域的一般方法。有限域的多项式和多项式分解理论,如不可约多项式判定和结构,多项式分解和多项式的根计算。幂和方法,即通过群特征标的理论实现加法和乘法结构的互变。
有限域的应用部分主要介绍:线性递归序列(linear Recurring Sequences), 如反馈移位寄存器,生成函数,线性递归序列刻划等。有限域与其它数学分支的联系,如有限几何,组合学,线性模系统等。代数编码理论,如循环码,线性码等。密码学,如流密码,离散对数等。


课程性质, 目的和任务: 掌握有限域的基本理论和基本方法, 熟悉有限域的结构和有限域上多项式的结构, 了解有限域与多项式的关系, 熟悉多项式的分解与不可约多项式的关系, 掌握有限域的应用与方法, 能用基本的有限域理论解决和回答一些应用问题, 如编码理论和密码理论中的有限域应用.

课程教学的实施和教学方法的设计:
1 全英文板书, 中英文互补讲课
2 周学时3-4, 讲授一学期
3 每周布置一次练习, 要求英文解答
4 成绩判定标准: 考试60%, 平时练习30%, 上课率10%.
5 预备课程要求: 本课程需要学生有较好的线性代数背景。其它代数背景知识,如群,环,理想等可在课程中简单介绍,如需要时,再详细解释。本课程的特点是理论与应用并行,故被广泛用作教材. 本课程适合高年级的本科生选修,同时更适合研究生选修。

 

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