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学术报告: On a certain Diophantine equation

发布时间:2019年01月03日 浏览次数:发布者:mathky

报告人:洪绍方教授

       四川大学

题目: On a certain Diophantine equation

时间:2019年1月11日上午10:40

地点: 海韵实验楼108

摘要: Let $S=\{s_i\}_{i=1}^{\infty}$ be any given infinite sequence of positive integers (note that all the $s_i$ are not necessarily distinct and not necessarily monotonic). Let $f(x)$ be a polynomial of nonnegative integer coefficients. For any integer $n\ge 1$, one lets $S_n:=\{s_1, ..., s_n\}$ and $H_f(S_n):=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{f(k)^{s_{k}}}$. When $f(x)=x$ and $s_i=1$ for all positive integers $i\ge 1$, then Theisinger proved in 1915 that $H_f(S_n)$ is not an integer if $n\ge 2$. Equivalently, this tells us that the Diophantine equation $1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n} =m$ has only the solution $(m,n)=(1,1)$. In 1923, Nagell extended Theisinger's theorem by showing that if $s_i=1$ for all positive integers $i\ge 1$ and $f(x)=ax+b$ with $a\ge 1$ and $b\ge 0$ being integers, then $H_f(S_n)$ is not an integer if $n\ge 2$. Hence the Diophantine equation $\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{a+bi}=m$ has only the solution $(a,b,m,n)=(1,b,1,1)$. In this talk, we will report recent progress on the Diophantine equation $\sum_{k=1}^n\frac{1}{f(k)^{s_k}} =m$, where $f(x)$ is a polynomial of nonnegative integer coefficients.

报告人简介:洪绍方, 四川大学数学学院教授、博士生导师,教育部新世纪优秀人才,四川省学术和技术带头人,任国际数学期刊AIMS Math.Journal of Math.等编委,主要从事数论、算术几何和编码等方面的研究,先后负责主持国家自然科学基金和教育部博士点基金等10多个纵向项目。已经在《J. Algebra》、《J. Number Theory》、《Acta Arith.》、《Finite Fields Appl.》等国内外30多种重要数学期刊上发表论文近百篇,其中SCI收录论文70篇,解决了若干公开问题和猜想,本人所提出的一些猜想已经被欧美一些作者所证明。先后访问了美国、法国、以色列和韩国等国以及台湾和香港地区的一些著名高校和研究所。已经培养毕业硕士60多名,毕业博士10多名, 其中多人已经晋升教授。

 联系人:祝辉林副教授

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